Calcular Fracciones

Las fracciones son una forma de representar partes de un todo. Se utilizan para expresar cantidades que no son enteras, sino que se dividen en partes más pequeñas. En una fracción, tenemos dos componentes principales: el numerador y el denominador.

Qué es una fracción

Una fracción es una forma de representar una cantidad que no es entera, sino que se divide en partes más pequeñas. Consiste en dos números separados por una barra o una línea diagonal: un numerador y un denominador.

El numerador es el número que se encuentra en la parte superior de la fracción y representa la cantidad de partes consideradas o presentes. Por ejemplo, en la fracción 3/4, el numerador es 3, lo que indica que se están considerando tres partes o unidades.

El denominador es el número que se encuentra en la parte inferior de la fracción y representa en cuántas partes se divide el todo. Siguiendo con el ejemplo anterior, en 3/4, el denominador es 4, lo que indica que el todo se divide en cuatro partes iguales.

La fracción 3/4 se lee como «tres cuartos» y representa que se están considerando tres de las cuatro partes en las que se divide el todo.

Las fracciones se utilizan ampliamente en matemáticas y en la vida cotidiana para expresar porciones, divisiones, proporciones, medidas y muchas otras situaciones. Son fundamentales para comprender conceptos como la mitad, un tercio, un cuarto y muchas otras divisiones de un todo.

Origen de la fracción

Las fracciones tienen un origen histórico que se remonta a las antiguas civilizaciones de Mesopotamia y Egipto. Estas civilizaciones desarrollaron sistemas de numeración y notación que permitían representar cantidades fraccionarias.

En Mesopotamia, alrededor del tercer milenio a.C., se utilizaba un sistema numérico de base 60 conocido como sistema sexagesimal. Este sistema permitía representar fracciones utilizando una notación posicional en la que se escribían los numeradores como números separados por una coma y se utilizaban símbolos especiales para representar las fracciones.

Por su parte, en el antiguo Egipto, alrededor del segundo milenio a.C., se utilizaba un sistema numérico de base 10. En este sistema, se representaban utilizando un símbolo especial llamado «ojo de Horus» o «fracción egipcia». Este símbolo consistía en una serie de trazos horizontales que representaban las partes fraccionarias.

Con el tiempo, las fraciones fueron adquiriendo mayor desarrollo y se fueron estandarizando en diferentes culturas. En la antigua Grecia, por ejemplo, se empezaron a utilizarlas como herramienta matemática y se estableció una notación más similar a la que utilizamos hoy en día.

Componentes de las Fracciones

El numerador es el número que se encuentra en la parte superior de la fracción, y representa la cantidad de partes que tenemos o queremos considerar. Por ejemplo, si tenemos una pizza y nos comimos 3 pedazos, el numerador sería 3.

El denominador es el número que se encuentra en la parte inferior de la fracción, y representa en cuántas partes se divide el todo. Siguiendo con el ejemplo de la pizza, si la dividimos en 8 pedazos y nos comimos 3, el denominador sería 8.

Entonces, en este caso, la fracción sería 3/8. El numerador nos indica que tenemos 3 pedazos de la pizza, y el denominador nos dice que la pizza está dividida en 8 partes en total.

Es importante tener en cuenta que el denominador no puede ser cero, ya que no podemos dividir algo en cero partes. Además, las fracciones pueden simplificarse si el numerador y el denominador tienen factores comunes.

También se pueden representar en forma de números decimales, dividiendo el numerador entre el denominador. Por ejemplo, 3/8 como número decimal sería 0.375.

Las fracciones se utilizan en una variedad de situaciones, como en operaciones matemáticas, medidas, porcentajes y proporciones. Son fundamentales para comprender conceptos como la mitad, un tercio, un cuarto y muchas otras divisiones de un todo.

Tipos de fracciones

Existen varios tipos de fracciones que se clasifican en función de sus características y propiedades. A continuación, te mencionaré algunos de los tipos más comunes de fracciones:

1. Fracciones propias: Son aquellas fracciones cuyo numerador es menor que el denominador. Por ejemplo, 3/5, 2/7. En estas fracciones, el valor de la fracción es menor a 1.
2. Fracciones impropias: Son fracciones en las que el numerador es igual o mayor que el denominador. Por ejemplo, 7/4, 9/3. En este caso, el valor de la fracción es mayor o igual a 1.
3. Fracciones mixtas: También conocidas como fracciones mixtas o fracciones enteras. Estas fracciones están compuestas por una parte entera y una fracción propia. Por ejemplo, 2 3/4, 5 1/2. En estas fracciones, la parte entera se representa fuera de la fracción y la fracción propia se encuentra después de un espacio.
4. Fracciones equivalentes: Son aquellas fracciones que representan la misma cantidad, pero tienen diferentes numeradores y denominadores. Se obtienen multiplicando o dividiendo tanto el numerador como el denominador por un mismo número. Por ejemplo, 2/4 es equivalente a 1/2, ya que ambos representan la mitad de un todo.
5. Fracciones irreducibles: También conocidas como fracciones en su forma más simple o fracciones en su mínima expresión. Son aquellas fracciones en las que el numerador y el denominador no tienen factores comunes. No se pueden simplificar más. Por ejemplo, 3/5 es una fracción irreducible.

Como resolver fracciones

Resolver fracciones implica realizar operaciones matemáticas utilizando fracciones. Esto puede incluir sumar, restar, multiplicar, dividir, simplificar, convertir a decimales, encontrar un denominador común, entre otras acciones.

Aquí tienes un resumen de cómo resolverlas en diferentes situaciones:

1. Sumar y restar fracciones:
   • Verifica si los denominadores son iguales. Si es así, suma o resta los numeradores y conserva el denominador.
   • Si los denominadores son diferentes, encuentra un denominador común y convierte ambas fracciones a fracciones equivalentes con ese denominador común. Luego, suma o resta los numeradores y conserva el denominador común. Simplifica la fracción resultante si es necesario.
2. Multiplicar fracciones:
   • Multiplica los numeradores de las fracciones para obtener el numerador del resultado.
   • Multiplica los denominadores de las fracciones para obtener el denominador del resultado.
   • Simplifica la fracción resultante si es necesario.
3. Dividir fracciones:
   • Voltea la segunda fracción (intercambia el numerador y el denominador) y realiza la multiplicación de las fracciones, siguiendo los pasos para multiplicar fracciones. Simplifica la fracción resultante si es necesario.
4. Simplificar fracciones:
   • Divide tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD) para simplificar la fracción.
5. Convertir fracciones a decimales:
   • Divide el numerador entre el denominador para obtener el cociente decimal.
   • Puedes redondear el resultado según la precisión deseada.
6. Encontrar un denominador común:
   • Encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores de las fracciones para obtener un denominador común.

Recuerda que en todas estas operaciones es importante simplificar la fracción resultante si es posible, para obtenerla en su forma más simple o irreducible.

Siempre ten en cuenta las reglas matemáticas y realiza los pasos paso a paso para resolverlas correctamente.

Suma de Fracciones

Para suma de fracciones, debes seguir los siguientes pasos:

1. Verificar si los denominadores de las fracciones son iguales. Si los denominadores ya son iguales, pasa al siguiente paso. Si no son iguales, deberás encontrar un denominador común para ambas fracciones.
2. Si los denominadores son iguales, simplemente sumas los numeradores y mantienes el denominador igual. Por ejemplo, si tienes las fracciones 3/5 y 2/5, como los denominadores son iguales (ambos son 5), sumas los numeradores: 3 + 2 = 5. Por lo tanto, la suma de 3/5 y 2/5 es 5/5.
3. Si los denominadores no son iguales, deberás encontrar un denominador común. Para hacer esto, busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. El MCM es el número más pequeño que es divisible por ambos denominadores. Una vez que hayas encontrado el MCM, debes convertir ambas fracciones a fracciones equivalentes con el denominador común.
4. Para convertir las fracciones a fracciones equivalentes, multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el factor necesario para obtener el denominador común. Después de realizar la conversión, suma los numeradores y mantén el denominador común.
5. Simplifica la fracción resultante, si es posible, dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD). Esto te dará la fracción en su forma más simple o irreducible.

Veamos un ejemplo de suma de fracciones

Sumemos las fracciones 1/4 y 3/8:

1/4 + 3/8

Los denominadores no son iguales, por lo que debemos encontrar un denominador común. El MCM de 4 y 8 es 8.

Convertimos las fracciones a fracciones equivalentes con denominador 8:

(1/4) x (2/2) = 2/8 (3/8) x (1/1) = 3/8

Ahora, sumamos los numeradores y mantenemos el denominador común:

2/8 + 3/8 = 5/8

La fracción resultante es 5/8.

Recuerda simplificar la fracción si es necesario. En este caso, la fracción 5/8 no se puede simplificar más.

Resta de fracciones

Para restar fracciones, sigue los siguientes pasos:

1. Verifica si los denominadores de las fracciones son iguales. Si los denominadores son iguales, puedes pasar al siguiente paso. Si no son iguales, deberás encontrar un denominador común para ambas.
2. Si los denominadores son iguales, simplemente resta los numeradores y mantén el denominador igual. Por ejemplo, si tienes las fracciones 5/8 y 3/8, como los denominadores son iguales (ambos son 8), restas los numeradores: 5 – 3 = 2. Por lo tanto, la resta de 5/8 y 3/8 es 2/8.
3. Si los denominadores no son iguales, debes encontrar un denominador común. Al igual que en la suma de fracciones, busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. El MCM es el número más pequeño divisible por ambos denominadores. Una vez que hayas encontrado el MCM, convierte ambas fracciones a fracciones equivalentes con el denominador común.
4. Para convertir las fracciones a fracciones equivalentes, multiplica el numerador y el denominador de cada fracción por el factor necesario para obtener el denominador común. Después de realizar la conversión, resta los numeradores y mantén el denominador común.
5. Simplifica la fracción resultante, si es posible, dividiendo el numerador y el denominador por su máximo común divisor (MCD). Esto te dará la fracción en su forma más simple o irreducible.

Veamos un ejemplo de resta de fracciones

Restemos las fracciones 3/4 y 1/6:

3/4 – 1/6

Los denominadores no son iguales, así que debemos encontrar un denominador común. El MCM de 4 y 6 es 12.

Convertimos las fracciones a fracciones equivalentes con denominador 12:

(3/4) x (3/3) = 9/12 (1/6) x (2/2) = 2/12

Ahora, restamos los numeradores y mantenemos el denominador común:

9/12 – 2/12 = 7/12

La fracción resultante es 7/12.

Recuerda simplificar la fracción si es posible. En este caso, la fracción 7/12 no se puede simplificar más.

Como multiplicar fracciones

Para multiplicar fracciones, debes seguir los siguientes pasos:

1. Multiplica los numeradores de las fracciones entre sí. El numerador es el número de arriba en cada fracción.
2. Multiplica los denominadores de las fracciones entre sí. El denominador es el número de abajo en cada fracción.
3. El resultado de la multiplicación será el nuevo numerador y el nuevo denominador de la fracción resultante.
4. Simplifica la fracción resultante, si es posible, dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD).

Veamos un ejemplo

Multiplica las fracciones 2/3 y 3/5:

(2/3) x (3/5)

Multiplicamos los numeradores: 2 x 3 = 6 Multiplicamos los denominadores: 3 x 5 = 15

Por lo tanto, el resultado de la multiplicación es 6/15.

Para simplificar la fracción resultante, podemos dividir tanto el numerador como el denominador por su MCD, que es 3:

(6/15) ÷ 3/3 = 2/5

Por lo tanto, el resultado simplificado de la multiplicación de 2/3 y 3/5 es 2/5.

Recuerda que también puedes multiplicar más de dos fracciones siguiendo los mismos pasos. Simplemente multiplica los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Como dividir fracciones

Para dividir fracciones, sigue los siguientes pasos:

1. Voltea la segunda fracción, es decir, intercambia el numerador y el denominador. Esto se hace para convertir la división en una multiplicación.
2. Multiplica la primera fracción por la segunda fracción, siguiendo los pasos para multiplicar fracciones que te mencioné anteriormente.
3. Simplifica la fracción resultante, si es posible, dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD).

Veamos un ejemplo

Divide las fracciones 2/3 entre 4/5:

(2/3) ÷ (4/5)

Volteamos la segunda fracción: (2/3) x (5/4)

Multiplicamos las fracciones:

(2/3) x (5/4) = (2 x 5) / (3 x 4) = 10/12

Para simplificar la fracción, dividimos tanto el numerador como el denominador por su MCD, que es 2:

(10/12) ÷ 2/2 = 5/6

Por lo tanto, el resultado de la división de 2/3 entre 4/5 es 5/6.

Recuerda que si tienes fracciones mixtas, primero conviértelas en fracciones impropias y luego realiza la división siguiendo los pasos mencionados anteriormente.

¿Cómo enseñar fracciones a los niños de primaria?

Enseñar fracciones a los niños de primaria puede ser una experiencia divertida y educativa. Aquí tienes algunos consejos y actividades que pueden ayudarte a enseñarlas de manera efectiva:

1. Introducción visual: Utiliza manipulativos visuales como círculos divididos en partes o bloques de construcción para representar fracciones. Permite que los niños manipulen y experimenten con ellos para comprender cómo se divide un todo en partes más pequeñas.
2. Fracciones en la vida cotidiana: Muestra a los niños ejemplos en situaciones cotidianas, como dividir una pizza en porciones, repartir galletas o compartir juguetes. Esto les ayudará a comprender que las fracciones son útiles en la vida real.
3. Juegos interactivos: Utiliza juegos interactivos y en línea que ayuden a los niños a practicar fracciones de manera divertida. Hay una variedad de juegos disponibles en línea que les permiten combinar, comparar y encontrar fracciones equivalentes.
4. Comparación de fracciones: Ayuda a los niños a comprender las relaciones de tamaño entre fracciones al compararlas. Utiliza tarjetas con diferentes numeradores y denominadores y pídeles que las ordenen de menor a mayor o de mayor a menor.
5. Suma y resta de fracciones: Introduce la suma y la resta de fracciones utilizando ejemplos concretos y visuales. Utiliza objetos manipulativos o dibuja modelos para ayudarles a entender cómo se combinan o se separan las partes.
6. Uso de dibujos y diagramas: Anima a los niños a dibujar diagramas o representaciones visuales de fracciones para ayudarles a visualizar y comprender conceptos más abstractos. Por ejemplo, pueden dibujar una pizza y dividirla en fracciones para representar una suma o resta de fracciones.
7. Práctica repetida: Proporciona muchas oportunidades de práctica repetida para que los niños refuercen sus habilidades con fracciones. Utiliza hojas de ejercicios, juegos de cartas, rompecabezas y actividades en grupo para que practiquen identificar, comparar y operar con fracciones.

Recuerda adaptar tu enfoque a las necesidades y habilidades de los niños. Proporciona ejemplos concretos, utiliza un lenguaje claro y brinda muchas oportunidades de práctica para que los niños se sientan cómodos y confiados trabajando con fracciones.

Otras utilidades

Más dudas? No te preocupes, te las resolvemos

Como convertir fracciones a decimales

Para convertir una fracción a decimal, debes realizar una división. A continuación, te mostraré los pasos para convertir una fracción a decimal:

1. Divide el numerador (el número de arriba) entre el denominador (el número de abajo).
2. Realiza la división y obtén el cociente decimal.
3. Si la división es exacta, el cociente decimal será el resultado final.
4. Si la división no es exacta, puedes redondear el cociente decimal según la precisión deseada.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1: Convertir 3/4 a decimal

Dividimos 3 entre 4:

3 ÷ 4 = 0.75

Por lo tanto, 3/4 en decimal es igual a 0.75.

Ejemplo 2: Convertir 5/8 a decimal

Dividimos 5 entre 8:

5 ÷ 8 = 0.625

Por lo tanto, 5/8 en decimal es igual a 0.625.

Ejemplo 3: Convertir 2/3 a decimal

Dividimos 2 entre 3:

2 ÷ 3 ≈ 0.6667 (redondeado a cuatro decimales)

Por lo tanto, 2/3 en decimal es aproximadamente 0.6667.

Recuerda que algunos números decimales pueden ser periódicos (es decir, tener una secuencia infinita de dígitos que se repite). En esos casos, generalmente se utiliza una línea horizontal encima de los dígitos periódicos para indicar que se repiten.

Como simplificar fracciones

Para simplificar una fracción, debes reducir el numerador y el denominador a su forma más simple, es decir, dividir ambos números por su máximo común divisor (MCD). A continuación, te mostraré los pasos para simplificar una fracción:

1. Encuentra el MCD del numerador y el denominador. El MCD es el mayor número que divide exactamente a ambos números.
2. Divide tanto el numerador como el denominador por el MCD encontrado en el paso anterior.
3. El resultado será una fracción simplificada, donde el numerador y el denominador no tienen factores comunes.

Veamos algunos ejemplos

Ejemplo 1: Simplificar la fracción 6/8

El MCD de 6 y 8 es 2.

Dividimos tanto el numerador como el denominador por 2:

6 ÷ 2 = 3 8 ÷ 2 = 4

Por lo tanto, la fracción simplificada de 6/8 es 3/4.

Ejemplo 2: Simplificar la fracción 12/24

El MCD de 12 y 24 es 12.

Dividimos tanto el numerador como el denominador por 12:

12 ÷ 12 = 1 24 ÷ 12 = 2

Por lo tanto, la fracción simplificada de 12/24 es 1/2.

Ejemplo 3: Simplificar la fracción 9/15

El MCD de 9 y 15 es 3.

Dividimos tanto el numerador como el denominador por 3:

9 ÷ 3 = 3 15 ÷ 3 = 5

Por lo tanto, la fracción simplificada de 9/15 es 3/5.

Recuerda que una fracción simplificada está en su forma más reducida, donde el numerador y el denominador no tienen factores comunes más allá del 1. Si la fracción no se puede simplificar más, se considera irreducible.

Como convertir fracciones impropias a mixtas

Para convertir una fracción impropia a mixta, es decir, a una fracción que incluye una parte entera y una fracción propia, sigue estos pasos:

1. Divide el numerador de la fracción impropia por el denominador. El cociente entero será la parte entera de la fracción mixta.
2. El residuo de la división anterior será el nuevo numerador de la fracción propia.
3. El denominador de la fracción propia se mantiene igual al denominador original.
4. Escribe el cociente entero como parte entera de la fracción mixta, seguido por la fracción propia con el numerador y el denominador encontrados en los pasos anteriores.

Veamos un ejemplo

Convertir la fracción impropia 7/2 a una fracción mixta:

1. Dividimos el numerador 7 por el denominador 2: 7 ÷ 2 = 3. El cociente entero es 3.
2. El residuo de la división es 1. Este será el nuevo numerador de la fracción propia.
3. El denominador de la fracción propia sigue siendo 2.
4. La fracción mixta resultante es 3 1/2, donde 3 es la parte entera y 1/2 es la fracción propia.

Por lo tanto, la fracción impropia 7/2 convertida a una fracción mixta es 3 1/2.

Recuerda que una fracción mixta representa una cantidad que incluye una parte entera y una fracción propia. Puedes convertir fracciones impropias a mixtas cuando el numerador es mayor o igual al denominador.

Como simplificar fracciones algebraicas

La simplificación de fracciones algebraicas implica simplificar la expresión algebraica en el numerador y el denominador para reducir la fracción a su forma más simple. A continuación, te mostraré los pasos generales para simplificar fracciones algebraicas:

1. Factoriza tanto el numerador como el denominador en términos de factores comunes. Busca los factores comunes y factoriza utilizando reglas de factorización algebraica.
2. Cancela los factores comunes tanto en el numerador como en el denominador. Esto implica eliminar los factores idénticos que se encuentran en ambas partes.
3. Reescribe la fracción simplificada en su forma más simple. Asegúrate de que no haya más factores comunes entre el numerador y el denominador.

Veamos un ejemplo

Simplifica la fracción algebraica (3x^2 – 6x) / (6x^2 – 9x)

1. Factorizamos tanto el numerador como el denominador:

(3x^2 – 6x) = 3x(x – 2) (6x^2 – 9x) = 3x(2x – 3)

2. Cancelamos los factores comunes (3x) tanto en el numerador como en el denominador:

(3x(x – 2)) / (3x(2x – 3))

3. Reescribimos la fracción simplificada en su forma más simple:

(x – 2) / (2x – 3)

Por lo tanto, la fracción algebraica (3x^2 – 6x) / (6x^2 – 9x) se simplifica a (x – 2) / (2x – 3).

Recuerda que la simplificación de fracciones algebraicas implica buscar factores comunes y cancelarlos. Sin embargo, ten en cuenta que algunas fracciones algebraicas pueden no ser simplificables más allá de su forma factorizada.

¿Cómo se realiza la suma de fracciones con diferente denominador?

Para sumar fracciones con diferentes denominadores, es necesario encontrar un denominador común y luego realizar la suma. Aquí te muestro los pasos a seguir:

1. Encuentra un denominador común: Observa los denominadores de las fracciones y busca el mínimo común múltiplo (MCM) de ellos. El MCM es el número más pequeño que es divisible por todos los denominadores. Puedes utilizar métodos como la descomposición en factores primos o la tabla de multiplicación para encontrar el MCM.
2. Convierte las fracciones al denominador común: Para cada fracción, multiplica tanto el numerador como el denominador por un factor que haga que el denominador sea igual al denominador común encontrado en el paso anterior.
3. Realiza la suma de los numeradores: Una vez que las fracciones tienen el mismo denominador, suma los numeradores de las fracciones para obtener el numerador de la fracción resultante. El denominador se mantiene igual.
4. Simplifica la fracción resultante: Si es posible, simplifica la fracción resultante dividiendo tanto el numerador como el denominador por su máximo común divisor (MCD). Esto implica reducir la fracción a su forma más simple.

Veamos un ejemplo

Suma las fracciones 1/3 y 1/4:

1. El MCM de 3 y 4 es 12.
2. Para la fracción 1/3, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 4: (1/3) x (4/4) = 4/12. Para la fracción 1/4, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por 3: (1/4) x (3/3) = 3/12.
3. Sumamos los numeradores: 4/12 + 3/12 = 7/12.
4. La fracción resultante es 7/12, que no se puede simplificar más.

Por lo tanto, la suma de 1/3 y 1/4 es 7/12.

Recuerda encontrar un denominador común y convertir la fracción a ese denominador antes de sumar los numeradores. Luego, simplifica la fracción resultante si es posible.

¿Cómo se hacen las fracciones equivalentes ejemplos?

Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma cantidad, pero están escritas de manera diferente. Para obtener fracciones equivalentes, es necesario multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo número.

Aquí te muestro algunos ejemplos de cómo hacer fracción equivalente:

Ejemplo 1: Fracción equivalente multiplicando por un número:

Consideremos la fracción 2/3. Para obtener una fracción equivalente, podemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Por ejemplo, multiplicaremos por 2:

2/3 x 2/2 = 4/6

La fracción 4/6 es equivalente a 2/3 porque representan la misma cantidad.

Ejemplo 2: Fracción equivalente dividiendo por un número:

Tomemos la fracción 6/8. Para obtener una fracción equivalente, podemos dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Por ejemplo, dividiremos por 2:

(6/8) ÷ (2/2) = 3/4

La fracción 3/4 es equivalente a 6/8 porque representan la misma cantidad.

Ejemplo 3: Fracción equivalente multiplicando y dividiendo:

Supongamos la fracción 3/5. Podemos obtener una fracción equivalente multiplicando el numerador por un número y dividiendo el denominador por el mismo número. Por ejemplo, multiplicaremos por 2 y dividiremos por 2:

(3/5) x (2/2) = 6/10

La fracción 6/10 es equivalente a 3/5 porque representan la misma cantidad.

Recuerda que en todos los casos, para obtener fracciones equivalentes, se deben multiplicar o dividir tanto el numerador como el denominador por el mismo número. Esto no cambia el valor de la fracción, ya que se está multiplicando o dividiendo por 1.

Bibliografía sobre la fracción

Aquí tienes una lista de referencias bibliográficas que puedes consultar para obtener más información sobre la fracción:

1. Behr, M., Harel, G., Post, T., & Lesh, R. (1992). Rational number, ratio, and proportion. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 296-333.
2. Lamon, S. J. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional strategies for teachers. Routledge.
3. Van de Walle, J. A., Karp, K. S., & Bay-Williams, J. M. (2012). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally. Pearson.
4. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM). (2014). Principles to Actions: Ensuring Mathematical Success for All. Reston, VA: NCTM.
5. Fennema, E., & Franke, M. (1992). Teachers’ knowledge and its impact. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 147-164.
6. Steffe, L. P., & Olive, J. (2010). Children’s fractional knowledge. Springer.
7. Sowder, J. T. (2007). The mathematical education and development of teachers. Handbook of research on mathematics teaching and learning, 271-307.

Estas referencias abarcan una variedad de aspectos relacionados con la fracción, desde la comprensión conceptual hasta las estrategias de enseñanza. Puedes consultar estas obras para obtener información más detallada y fundamentada sobre las fracciones.

Recuerda que también puedes buscar artículos académicos, investigaciones y recursos en línea relacionados con el tema de la fracción.

Las bibliotecas, tanto físicas como digitales, son excelentes fuentes de información adicional.

Oscar Lafayette

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